Question

如图已知正四棱柱ABCD----A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点。

（1）证明：EF⊥平面_;
（2）求点A₁到平面BDE的距离;
（3）求BD₁与平面BDE所成的角的余弦值.

Answer 1

(1) 以D为原点，DA、DC、AA₁所在直线为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.
D(0，0，0)，B（1，1，0）
D₁（0，0，2），E（0，1，1），F（，，1）       
∴=（1，1，0），=（0，0，2），  

x

    =（，－，0）                                                                                                                

由 ·=0，·=0，
得，EF⊥DB，EF⊥DD₁ ∴EF⊥面D₁DB_{1----------------------------------------------------}
(2) 设=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)
由⊥, ⊥得 即
∴取y=1，=（-1，1，-1）
,由(2)知点到平面BDE的距离为 =----
(3) =(-1,-1,2)
由(2)知
设直线BD₁与平面BDE所成的角的正弦值为,则sin=,cos=
∴直线BD₁与平面BDE所成的角的余弦值为--------------------

略