题目内容

如果数列{an}中的项构成新数列{an+1-kan}是公比为l的等比数列，则它构成的数列{an+1-lan}是公比为k的等比数列．已知数列{an}满足：a1=
3
5
，a2=
31
100
，且an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1，根据所给结论，数列{an}的通项公式an=
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]
．
分析：由an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1及n≥2时，an-
1
10
an-1=(
1
2
)n，两式相除可判断数列{an+1-
1
10
an}是公比为
1
2
的等比数列，由结论可知{an+1-
1
2
an}是公比为
1
10
的等比数列，从而可分别表示出an+1-
1
10
an和an+1-
1
2
an，两式相减即可求得答案．
解答：解：由an+1=
1
10
an+(
1
2
)n+1，得an+1-
1
10
an=(
1
2
)n+1，
则n≥2时，an-
1
10
an-1=(
1
2
)n，
∴
an+1-
1
10
an
an-
1
10
an-1
=
1
2
（n≥2），
∴数列{an+1-
1
10
an}是首项为a2-
1
10
a1=
31
100
-
3
50
=
1
4
，公比为
1
2
的等比数列，
∴an+1-
1
10
an=
1
4
×(
1
2
)n-1=(
1
2
)n+1①，
由所给结论知，{an+1-
1
2
an}是首项为a2-
1
2
a1=
31
100
-
3
10
=
1
100
，公比为
1
10
的等比数列，
∴an+1-
1
2
an=
1
100
×(
1
10
)n-1=(
1
10
)n+1②，
①-②，得
2
5
an=(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1，∴an=
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]，
故答案为：
5
2
[(
1
2
)n+1-(
1
10
)n+1]．
点评：本题考查新定义、由数列递推式求数列通项，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f(
x1+x2
2
)成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{an}，如果对任意正整数n，总有不等式：
an+an+2
2
≤an+1成立，则称数列{an}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{an}满足如下两个条件：
（1）数列{an}为上凸数列，且a1=1，a10=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中bn=n2-6n+10．
则数列{an}中的第五项a5的取值范围为
 
．
设数列{an}满足当n＞1时，an=
an-1
1+4an-1
，且a1=
1
5
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．
如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{bn}的前n项和Sn=
n2
•a；
（3）已知有穷等差数列{cn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，试判断数列{cn}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n0和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．
已知：0＜θ＜π，等比数列{an}中，a2=sinθ+cosθ，a3=1+sin2θ，
m
=(sin2θ，
1
2
)，
n
=(2，3-cos4θ)．
（1）问
m
•
n
是否为数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{an}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

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