Question

已知：0＜θ＜π，等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，

m

=(sin2θ，

1

2

)，

n

=(2，3-cos4θ)．
（1）问

m

•

n

是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，知q=sinθ+cosθ，所以以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．由

m

•

n

=2+2sin2θ-cos²2θ=1+2sin2θ+sin²2θ=（sinθ+cosθ）⁴，知

m

•

n

是数列{a_n}中的第5项．
（2）由|q|=|sinθ+cosθ|=

2

|sin(θ+

π

4

)|＜1，知|sin（θ+

π

4

）|＜

2

2

，由此能求出θ的取值范围．

解答：解：（1）∵等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，
a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，
所以q=sinθ+cosθ，
所以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．
∵

m

=(sin2θ，

1

2

)，

n

=(2，3-cos4θ)．
∴

m

•

n

=2+2sin2θ-cos²2θ
=1+2sin2θ+sin²2θ
=（sinθ+cosθ）⁴，
所以

m

•

n

是数列{a_n}中的第5项．
（2）∵|q|=|sinθ+cosθ|
=

2

|sin(θ+

π

4

)|＜1，
∴|sin（θ+

π

4

）|＜

2

2

，
∴θ∈(

π

2

，

3π

4

)∪(

3π

4

，π)．

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量的数列积和三角函数的灵活运用．