Question

我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁、x₂，总有不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：

an+an+2

2

≤an+1成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a_n}满足如下两个条件：
（1）数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b_n=n²-6n+10．
则数列{a_n}中的第五项a₅的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：

an+an+2

2

≤an+1?

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

?a₅≥13…（1），在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5?-15≤a₅≤25…（2）；（1）、（2）联立能得到第五项a₅的取值范围．

解答：解：∵

an+an+2

2

≤an+1，∴

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，
∴

a10-a1

10-1

≤

a5-a1

5-1

，把a₁=1，a₁₀=28代入，得a₅≥13…（1）．
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5，得b₅=25-30+10=5，
∴-20≤a₅-b₅≤20，∴-15≤a₅≤25…（2）．
（1）、（2）联立得13≤a≤25．
答案：[13，25]．

点评：本题具有一定的难度，解题时要注意公式的合理转化．