Question

8．已知函数f（x）=mx³-nx²+kx（m≠0）在x=1，x=-1时取得极值，且f（1）=-1
（1）求常数m，n，k的值；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，利用函数的极值点，以及函数在列出方程求解即可．
（2）求出函数的导数，利用极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=mx³-nx²+kx，可得f′（x）=3mx²-2nx+k，
在x=1，x=-1时取得极值，且f（1）=-1
可得$\left\{\begin{array}{l}3m-2n+k=0\\ 3m+2n+k=0\\ m-n+k=-1\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{2}$，k=$-\frac{3}{2}$，n=0．
得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，
所以$f'（x）=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}（x-1）（x+1）$．
令f′（x）=0得x=±1．
当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=1；
当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-1．
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间是（-1，1）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，单调区间的求法，考查计算能力．