Question

定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

）且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2014）=（　　）

• A、1
• B、0
• C、-1
• D、2

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，对任意实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

），我们易判断出函数f（x）是周期为3的周期函数，进而由f（-1）=1，f（0）=-2，我们求出一个周期内函数的值，进而利用分组求和法，得到答案．

解答： 解：∵f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

）=-f（x），
则f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x）
所以，f（x）是周期为3的周期函数．
则f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，f（

1

2

）=-f（-1）=-1
∵函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）成中心对称，
∴f（1）=-f（-

5

2

）=-f（

1

2

）=1
∵f（0）=-2
∴f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）=1
故选：A．

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，其中根据已知中对任意实数x都有f（x）=-f（x+

3

2

），判断出函数的周期性，是解答本题的关键，属于中档题．