Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．

(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c<c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，由题意得

即解得

∴f(x)＝x³－x²－6x＋c，f′(x)＝3x²－3x－6.

令f′(x)<0，解得－1<x<2；

令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.

∴f(x)的减区间为(－1,2)，

增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．

∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为

f(－1)与f(3)中的较大者．

f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.

∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．

要使f(x)＋c<c²，只需c²>f(－1)＋c，

即2c²>7＋5c，解得c<－1或c>.

∴c的取值范围为 (－∞，－1)∪.