Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为

3

2

a2（O为原点），则此双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线与bx-ay=0的交点A的坐标，利用△OAF的面积为

3

2

a2，即可求得此双曲线的离心率．

解答：解：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=-

a

b

（x-c），
由

y= b a x y=- a b (x-c)

得：x=

a2

c

，y=

ab

c

，即A（

a2

c

，

ab

c

），
∵△OAF的面积为

3

2

a2，
∴

1

2

|OF|×y_A=

1

2

c×

ab

c

=

3

2

a2，
∴b=

3

a，
∴

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

a2+3a2

a2

=4，
∴e=

c

a

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的性质，考查转化思想与方程思想，求得A的坐标是关键，属于中档题．