Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|²+|DE|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，推出求出p=1，推出抛物线C的方程．
（Ⅱ）假设存在点M（x，），（x＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，求出M（）．使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
（Ⅲ）当x=时，求出⊙Q的方程为．利用直线与抛物线方程联立方程组．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，通过|AB|²+|DE|²的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知F（0，），圆心Q在线段OF平分线y=上，
因为抛物线C的标准方程为y=-，
所以，即p=1，
因此抛物线C的方程x²=2y．
（Ⅱ）假设存在点M（x，），（x＞0）满足条件，
抛物线C在点M处的切线的斜率为
y′==x．
令y=得，，
所以Q（），
又|QM|=|OQ|，
故，
因此．又x＞0．
所以x=，此时M（）．
故存在点M（），使得直线MQ与抛物线C相切与点M．
（Ⅲ）当x=时，由（Ⅱ）的Q（），⊙Q的半径为：r==．
所以⊙Q的方程为．
由，整理得2x²-4kx-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由，整理得（1+k²）x²-，
设D，E两点的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=＞0，x₃+x₄=，x₃x₄=．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）+，令1+k²=t，由于，则，
所以|AB|²+|DE|²=t（4t-2）+=4t²-2t+，
设g（t）=4t²-2t+，t，因为g′（t）=8t-2-，
所以当t，g′（t）≥g′（）=6，
即函数g（t）在t是增函数，所以当t=时，g（t）取最小值，
因此当k=时，|AB|²+|DE|²的最小值为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．