Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，；单调递增区间为，.（2）

【解析】

（1）根据题意，代入，求导，利用导数的正负求解单调区间

（2）根据题意，对函数求导，因为存在，使得成立，所以在区间上存在极值点，转化成在区间上有解，再转化成有解，令，根据导数求解的值域，即可求解参数取值范围.

（1）由，

得.

令，则，

解得，，.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上，函数的单调递减区间为，；

单调递增区间为，.

（2）由已知可得.

因为存在，使得成立，

所以在区间上存在极值点，所以在区间上有解.

所以，即有解.

令，则，

当时，恒成立，

所以在上单调递增，所以.

又，，所以，

所以.

即实数的取值范围是.