Question

4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}$2x
（1）求当x＜0时，函数f（x）的表达式            
（2）解不等式f（x）≤3．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义与性质，求出x＜0时f（x）的解析式即可；
（2）由题意，分别求出x＞0和x＜0时对应不等式的解集即可．

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数，
当x＞0时，$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}$2x，
所以，当x＜0时，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-${log}_{\frac{1}{3}}$2（-x）=-${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x），
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{3}}2x，x＞0}\\{{-log}_{\frac{1}{3}}（-2x），x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由题意：当x＞0时有${log}_{\frac{1}{3}}$2x≤3，解得x≥$\frac{1}{54}$；
当x＜0时有-${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x）≤3，
即${log}_{\frac{1}{3}}$（-2x）≥-3，解得x≤-$\frac{27}{2}$；
综上，原不等式的解集为{x|x≤-$\frac{27}{2}$或x≥$\frac{1}{54}$}．

点评 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，以及分段函数“分段处理”的应用问题，属于基础题．