题目内容

定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝f；②当x∈(－1，0)，f(x)＞0．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)试解不等式：f(x)＋f(x－1)＞f．

答案：
解析：

　　解：(1)解：令x＝y＝0，则

　　f(0)＋f(0)＝

　　∴f(0)＝0

　　令x∈(－1，1)　∴－x∈(－1，1)

　　∴f(x)＋f(－x)＝f()＝f(0)＝0

　　∴f(－x)＝－f(x)

　　∴f(x)在(－1，1)上为奇函数　4分

　　(2)解：令－1＜x1＜x2＜1

　　则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝

　　∵x1－x2＜0，1－x1x2＞0

　　∴　∴＞0

　　∴f(x1)＞f(x2)　∴f(x)在(－1，1)上为减函数

　　又f(x)＋f(x－1)＞

　　　8分

　　∴不等式化为

　　或

　　∴不等式的解集为　12分


练习册系列答案
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定义在区间[-1，1]上的奇函数f（x）满足：对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有
f(a)+f(b)a+b
＜0，f（1）=-3．
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x2-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m2+2am对任意x，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有数学公式
（1）若满足f（x+数学公式）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
（2）若f（x）≤t2-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

（Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判断函数g（x）=，是否满足题设条件；

（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有
（1）若满足f（x+）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
（2）若f（x）≤t2-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

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