题目内容
20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;
（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.
（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;
（Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；
（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
20.
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈［－1,1］时，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x,
即x－1≤f（x）≤1－x.
（Ⅱ）证法一：对任意的u，v∈［－1,1］,
当|u－v|≤1时，有|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.
当|u－v|＞1时，u·v＜0.不妨设u＜0，
则v＞0且v－u＞1.
所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）－f（－1）|+|f（v）－f（1）|≤|u+1|+|v－1|=1+u+1－v
=2－（v－u）＜1.
综上可知，对任意的u,v∈［－1,1］,都有|f（u）－f（v）|≤1.
证法二：由（Ⅰ）可得，
当x∈［0,1］时，|f（x）|≤1－x.
当x∈［－1,0］时，|f（x）|=|f（x）－f（－1）|≤1+x=1－|x|,
所以，当x∈［－1,1］时，|f（x）|≤1－|x|
因此，对任意的u,v∈［－1,1］,
当|u－v|≤1时，|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.
当|u－v|＞1时，有u·v＜0且1＜|u－v|=|u|+|v|≤2,所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）|+|f（v）|
≤1－|u|+1－|v|=2－（|u|+|v|）≤1.
综上可知，对任意的u,v∈［－1,1］，都有|f（u）－f（v）|≤1.
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，
则由|f（u）－f（v）|=|u－v|，u,v∈［,1］，得
|f（
）－f（1）|=|
－1|=
.
又f（1）=0,所以|f（
）|=
. ①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0.
由条件|f（u）－f（v）|＜|u－v|,u,v∈［0, 
］,得|f（
）|=|f（
）－f（0）|＜
. ②
①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
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