Question

20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判断函数g（x）=，是否满足题设条件；

（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

Answer 1

20.

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈［－1，1］时，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x，

即x－1≤f（x）≤1－x.

 

（Ⅱ）答：函数g（x）满足题设条件.验证如下：g（－1）=0=g（1）.

对任意的u，v∈［－1，1］，

当u，v∈［0，1］时，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；当u，v∈［－1，0］时，同理有|g（u）－g（v）|=|u－v|；

当u·v<0时，不妨设u∈［－1，0），v∈（0，1]，有

|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）|=|u+v|≤|v－u|.

所以，函数g（x）满足题设条件.

 

（Ⅲ）答：这样的函数不存在.理由如下：

假设存在f（x）满足条件，则由f（－1）=f（1）=0，得

|f（1）－f（－1）|=0.                                                      　①

由于对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|= |u－v|，

所以，|f（1）－f（－1）|=|1－（－1）|=2.                       　②

①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.