Question

已知直线y=-x+m与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若向量•=0（其中0为坐标原点），求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，焦距为2，结合，求出几何量，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，焦距为2，
∴，2c=2
∴c=1，a=
∴=
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
将直线y=-x+m，代入椭圆方程，整理可得5x²-6mx+3m²-6=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁y₂=
∵•=0（其中0为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴=0
∴m=±，此时△=36m²-20（3m²-6）=＞0．
点评：本题考查椭圆的坐标方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．