题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）如果f（x）在区间（1，2）不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a＞0，设函数g（x）=f（x）+ax，求函数g（x）的极大值．

解：（I $\text{[math]}$
设h（x）=ax²-x-a=0的两个根为x₁，x₂
由韦达定理得x₁•x₂=1
∵f（x）在区间（1，2）不单调
∴h（x）=0在区间（1，2）上h（x）=0有且仅有一个根，另一个根小于1，
则h（1）h（2）＜0
即（a-1-a）（4a-2-a）＜0
解得 $\text{[math]}$
（II） $\text{[math]}$
①当a=1时，函数g（x）无极值
②当a＞1时，在 $\text{[math]}$ ，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在 $\text{[math]}$ 上，g′（x）＜0，g（x）单调递减
在（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴当 $\text{[math]}$ 时，g（x）取得极大值为 $\text{[math]}$
③当0＜a＜1时，函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，在区间 $\text{[math]}$ 是减函数
所以函数g（x）的极大值为g（0）=0
分析：（I）求出函数的导函数，将导函数的分子看成一个函数h（x），将f（x）在区间（1，2）不单调转化为方程h（x）=0的根的分布问题，结合二次函数的图象写出限制条件求出a的范围．
（II）求出g（x）的导函数，通过对导函数的两个根大小的讨论判断出导函数的符号，进一步判断出函数的单调性，根据极值的定义求出函数g（x）的极大值．
点评：解决函数在某区间不单调问题常转化为在区间函数有极值；求函数的极值问题，一般求出导函数，令导函数为0，判断根左右两边的导函数符号，求出极值，若含参数时，一般要讨论．