题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f（x）的极大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R. $\text{[math]}$ ，
即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或 $\text{[math]}$ ．
当k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．…（3分）
当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是 $\text{[math]}$ 和（-1，+∞），单调递减区间是 $\text{[math]}$ ．…（5分）
当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和 $\text{[math]}$ ，单调递减区间是 $\text{[math]}$ ．…（7分）
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．理由如下：
当k=-2时，f（x）无极大值．
当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为 $\text{[math]}$ ，…（8分）
令 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 k=-1或 $\text{[math]}$ （舍）．…（9分）
当k＜-2时，f（x）的极大值为 $\text{[math]}$ ．…（10分）
因为 e^k＜e^-2， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 f（x）的极大值不可能等于3e^-2．
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．…（12分）
分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，并分解 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），对f'（x）=0的两个根的大小进行比较，分类讨论：k=-2时，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0；当-2＜k＜0时， $\text{[math]}$ ；当k＜-2时， $\text{[math]}$ ，从而可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e^-2．按照（Ⅰ）的分类讨论方法，当k=-2时，f（x）无极大值；当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为 $\text{[math]}$ ，可得 k=-1；当k＜-2时，f（x）的极大值不可能等于3e^-2．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．