Question

已知圆C的圆心在直线l:3x-y=0上，且与直线l₁:x-y+4=0相切.

(1)若直线x-y=0截圆C所得弦长为2,求圆C的方程.

(2)若圆C与圆x²+y²-4x-12y+8=0外切，试求圆C的半径.

(3)满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l₁相切，我们称l₁是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由.

Answer 1

设圆C的圆心坐标为(a,3a)，则它的半径

(1)圆心C到直线x-y=0的距离

因而该直线截圆C所得弦长为

所以

圆C的方程为

(2)两圆的连心线长为因为两圆外切，

所以r=r+4,所以r=

(3)如果存在另一条公切线，则它必过l与l1的交点(2,6).

①若斜率不存在，则其方程为x=2,圆心C到它的距离|a-2|=r=|a-2|，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线.

②若斜率存在，设公切线的方程为y-6=k(x-2)，

即kx-y+6-2k=0,

所以

所以k2+6k-7=0,解出k=1或k=-7.

k=1时直线与l1重合，k=-7时，

直线方程为7x+y-20=0.

所以还存在一条公切线，其方程为7x+y-20=0.