题目内容

13．已知点P在椭圆：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1上，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，定点M（2，1），求|PM|+|PF1|的最大值和最小值．

分析 通过连结PF2、|MF2|，利用椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=8，通过两点间距离公式计算可知|MF2|=$\sqrt{2}$，利用|PM|≥|PF2|-|MF2|、|PM|≤|PF2|+|MF2|计算即得结论．

解答 解：连结PF2、MF2，如图，则|PF1|+|PF2|=8，
|MF2|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵|PM|≥|PF2|-|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≥|PF2|-|MF2|+|PF1|≥8-$\sqrt{2}$，
∵|PM|≤|PF2|+|MF2|，
∴|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|≥8+$\sqrt{2}$，
∴|PM|+|PF1|的最大值和最小值分别为$8+\sqrt{2}$和$8-\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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