Question

【题目】过点作一直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上到直线的距离最小的点，直线与直线交于点.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求证：直线平行于抛物线的对称轴.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）到直线距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离

得当且仅当时取最小值，（Ⅱ）要证直线平行于抛物线的对称轴，就是要证两点纵坐标相等，设点 ，求出直线AP方程，与直线方程联立，解出点纵坐标为.同理求出直线AB方程，与抛物线方程联立，解出点纵坐标为.

试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，则，

所以，点到直线的距离

.

当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分

（Ⅱ）设点的坐标为，显然.

当时，点坐标为，直线的方程为；

当时，直线的方程为，

化简得；

综上，直线的方程为.

与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.

当时，直线的方程为，可得点的纵坐标为.

此时，

即知轴，

当时，直线的方程为，

化简得，

与抛物线方程联立，消去，

可得，

所以点的纵坐标为.

从而可得轴，

所以，轴.……………………………………13分