Question

10．计算1×2+2×3+…+n（n+1）的值为$\frac{1}{3}（{n}^{3}+3{n}^{2}+2n）$．

Answer 1

分析 由n（n+1）=n²+n，然后利用数列的分组求和得答案．

解答 解：∵n（n+1）=n²+n，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=（1²+1）+（2²+2）+（3²+3）+…+（n²+n）
=（1²+2²+3²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）+\frac{1}{2}n（n+1）$
=$\frac{1}{3}（{n}^{3}+3{n}^{2}+2n）$．
故答案为：$\frac{1}{3}（{n}^{3}+3{n}^{2}+2n）$．

点评 本题考查数列的分组求和，考查等差数列的前n项和，属中档题．