Question

1．平面α内有△ABC，AB=5，BC=8，AC=7，梯形BCDE的底DE=2，过EB的中点B₁的平面β∥α，若β分别交EA、DC于A₁、C₁，求△A₁B₁C₁的面积．

Answer 1

分析 由梯形中位线定理先求出B₁C₁，再由平面平行的性质求出A₁B₁和A₁C₁，然后利用余弦定理和正弦定理能求出△A₁B₁C₁的面积．

解答 解：∵平面β∥α，∴A₁B₁∥AB，B₁C₁∥BC，
∵∠A₁B₁C₁与∠ABC同向，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC，
∵cos$∠ABC=\frac{{5}^{2}+{8}^{2}-{7}^{2}}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁C₁=∠ABC=60°，
∵B₁为EB的中位线，∴B₁A₁是△EAB的中位线，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同理，B₁C₁是梯形BCDE的中位线，
∴B₁C₁=$\frac{1}{2}（BC+DE）=5$，
∴sin∠A₁B₁C₁=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△A₁B₁C₁的面积：
S=$\frac{1}{2}×{A}_{1}{B}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×sin∠{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面平行的性质、余弦定理和正弦定理的灵活运用．