Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，当直线的倾斜角发生变化时，直线与轴是否相交于定点？若是，求出定点坐标，否则，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意得， ，解得，（2）先根据直线的斜率不存在时，确定直线与轴的交点坐标是，再设坐标，根据点斜式求直线的方程，并求时， .联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，为定值0.

试题解析：(1)由， ，得，

所以椭圆的标准方程为.

(2)当直线的斜率不存在时，即轴，直线与轴的交点坐标是，

猜想：当直线的斜率存在时，直线与轴的交点坐标也是，

下面证明：

当直线的斜率存在时，设直线，设， ， ，

联立： ，

得， ，

直线的方程为，

当时， ，

将， 代入得：

，

将， 代入上式得，

由此知直线经过点，

所以，当直线的倾斜角发生变化时，直线与轴相交于定点.