Question

14．已知直线l：x-y-4=0和圆C：x²+y²+2x-2y=0
（1）试判断直线l与圆C的位置关系
（2）求与直线l和圆C都相切的半径最小的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心到直线的距离与半径比较，即可得出结论；
（2）由题意过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，所求的圆的半径为$\sqrt{2}$，即可求出所求圆的方程．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+2x-2y=0，可化为（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圆x²+y²+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为$\sqrt{2}$，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-1-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＞$\sqrt{2}$，
∴直线l与圆C相离；                  
（2）由题意，过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，
所求的圆的圆心在此直线上，
又圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为d=$\frac{|-1-1-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则所求的圆的半径为$\sqrt{2}$，
设所求圆心坐标为（a，b）
则$\frac{|a-b-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，且a+b=0
解得a=1，b=-1，
∴与直线l和圆C都相切的半径最小的圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=2

点评 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，数形结合的思想，考查计算能力．