Question

4．设两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线．
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线；
（3）若$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{2π}{3}$的两个单位向量，试确定k的值，使$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$与k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{BD}$即可得出$\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{AB}$，于是A，B，D三点共线；
（2）令k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）解出k；
（3）令（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0解出k．

解答 解：（1）证明：∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}+5\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，D三点共线；
（2）∵k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$和$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，
∴存在非零常数λ使得k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∵非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=λ}\\{1=λk}\end{array}\right.$，解得k=±1．
（3）${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}={\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0．
即k${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+（1-k）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
∴k-1+$\frac{k-1}{2}$=0，
解得k=1．

点评 本题考查了平面向量的共线定理，平面向量的数量级与向量垂直的关系，属于中档题．