Question

定义在R上的可导函数f（x）满足f（x+2）-f（x）=2f（1），y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，且当x∈[2，4]时，f（x）=x²+2xf′（2），则f（-

1

2

）与f（

16

3

）的大小关系是（　　）

• A、f（-

  1

  2

  ）=f（

  16

  3

  ）
• B、f（-

  1

  2

  ）＜f（

  16

  3

  ）
• C、f（-

  1

  2

  ）＞f（

  16

  3

  ）
• D、不确定

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先根据函数的对数性得到函数关于y轴对称，再求出函数f（x）为周期2的周期函数，再根据导数求出函数的解析式，判断出函数饿单调性，问题得以解决．

解答： 解：若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，
将函数f（x+1）向右平移1个单位得到f（x）的图象，则f（x）关于直线x=0对称，
即函数f（x）是偶函数，
∵f（x+2）-f（x）=2f（1），
∴令x=-1得，f（-1+2）-f（-x）=2f（1），
即f（1）-f（1）=2f（1），解得f（1）=0，
即f（x+2）-f（x）=0，
∴f（x+2）=f（x）
即函数f（x）的周期是2，
∵f（x）=x²+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2），
令x=2，f′（2）=4+2f′（2），
解得f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x=（x-4）²-16，
∴f（x）在[2，4]为减函数，
∴f（x）在[0，2]为减函数，
∵f（-

1

2

）=f（2-

1

2

）=f（

3

2

），f（

16

3

）=f（

16

3

-4）=f（

4

3

），
∴f（-

1

2

）＜f（

16

3

）
故选：B

点评：本题主要考查了导数运算，根据条件求出函数的对称性，奇偶性以及周期性是解决本题的关键．综合考查函数的性质的应用吗，属于中档题．