Question

【题目】已知椭圆，经过点且斜率为的直线与相交于两点，与轴相交于点.

（1）若，且恰为线段的中点，求证：线段的垂直平分线经过定点；

（2）若，设分别为 的左、右顶点，直线、相交于点.当点异于时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是，4.

【解析】

（1）设，，由是椭圆上的点可得，两式相减进行整理可得，从而可求出，则可得的垂直平分线的斜率，由点斜式可得的垂直平分线的方程为，即可得所过定点.

（2）由点斜式得直线的方程为，则点从而可求；

得直线的方程为，直线的方程为，联立可求出其交点横坐标，联立与椭圆方程，结合韦达定理，对进行化简，可得，即可求出的值，从而可判断是否为定值.

解：设，.

（1）由题意知，直线的斜率为，因为是椭圆上的点，则 ，

两式相减，整理得，所以，故线段的垂直平分线的斜率为，

从而线段的垂直平分线的方程为，

所以，线段的垂直平分线经过定点.

（2）直线的方程为，由条件知：，则点，.

联立直线与椭圆的方程，消去得：，

所以，.

直线的方程为①，直线的方程为②.

设点，由①，②得，

.

所以，.即为定值4.