Question

17．已知AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=4，cos∠BAC=$\frac{11}{16}$．
（1）求△ABC的面积；
 （2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由cos∠BAC=$\frac{11}{16}$，∠BAC∈（0，π），可得sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$，即可得出S_△ABC．
（2）由AD是△ABC的角平分线，可得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=2，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，利用cos∠BAC=1-2sin²∠BAD，解得sin∠BAD．利用S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{1}{2}AB×ADsin\frac{1}{2}∠BAC$，即可得出．

解答 解：（1）∵cos∠BAC=$\frac{11}{16}$，∠BAC∈（0，π），∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
（2）由AD是△ABC的角平分线，∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=2，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴cos∠BAC=1-2sin²∠BAD，∴$\frac{11}{16}$=1-2sin²∠BAD，解得sin∠BAD=$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
∴S_△ABD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$=$\frac{1}{2}AB×ADsin\frac{1}{2}∠BAC$=$\frac{1}{2}×4×AD$×$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
解得AD=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了角平分线的性质、三角形面积计算公式、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．