Question

9．已知函数f（x）=x³-x
（1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程；
（2）如果过点（1，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解，即可得到结论．
（2）先将过点A（1，b）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+b+1=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+b+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得b的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-1则f′（1）=3-1=2，．
曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程为：y=2（x-1）=2x-2
（2）设切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率k=3x₀²-1=$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}-b}{{x}_{0}-1}$，
即2x₀³-3x₀²+b+1=0，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x³-3x²+b+1=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-3x²+b+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值b+1；x=1，g（x）有极小值b，
由题意有，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=b+1＞0}\\{g（1）=b＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜b＜0时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．

点评 本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．