Question

12．已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x （千万元）	3	5	6	7	9
利润额y （百万元）	2	3	3	4	5

（I）画出散点图；
（Ⅱ）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；
（Ⅲ）若该公司还有一个零售店某月销售额为11千万元，试估计它的利润额是多少？
（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=112，$\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}$=200）

Answer 1

分析 （I）由表中数据绘制散点图；
（Ⅱ）求得数据的样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），由最小二乘法求得$\widehat{b}$，代入$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，即可求得线性回归方程；
（Ⅲ）将x=11代入线性回归方程，即可求得某月销售额为11千万元，试估计它的利润额．

解答 解：（I）画出散点图：

由已知数据可知：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112-5×6×3.4}{200-5×6×6}$=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=3.4-0.5×6=0.4，
∴线性回归方程为：$\widehat{y}$=0.5x+0.4，
（Ⅲ）当x=11，代入线性回归刚才可知$\widehat{y}$=5.9（千万元），
某月销售额为11千万元，试估计它的利润额是5.9千万元．

点评 本题考查求线性回归方程的方法及线性回归方程的应用，考查计算能力，属于中档题．