Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的最大值为，的最小值为1

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后证明即可；

（Ⅱ）构造函数利用函数的导数求解函数的单调性以及函数的最值，然后求解的最大值与的最小值.

（Ⅰ）因为

当，从而在单调递减，所以.

（Ⅱ）令则

，由（Ⅰ）知，

所以函数在单调递增，故

所以的最大值.

因为等价于

令则

（1）当时，，所以在单调递增，所以对任意恒成立，不符合题意；

（2）当时，因为对任意，，所以在单调递减，所以对任意恒成立，符合题意；

（3）当时，构造，则

所以在单调递增，又因为

所以存在唯一零点，使得，当，，在单调递减，当，，在在单调递增

所以，不符合题意，综上，的最小值为1

所以对恒成立，的最大值为，的最小值为1.