Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的方程是： ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设过原点的直线与曲线交于， 两点，且，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）将直角坐标方程转化为极坐标方程可得曲线的极坐标方程为.

（2）法1：由圆的弦长公式可得圆心到直线距离，由几何关系可得直线的斜率为.

法2：设直线： （为参数），与圆的直角坐标方程联立，利用直线参数的几何意义可得直线的斜率为.

法3：设直线： ，与圆的方程联立，结合圆锥曲线的弦长公式可得直线的斜率为.

法4：设直线： ，结合弦长公式可得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式解方程可得直线的斜率为.

试题解析：

（1）曲线： ，即，

将， 代入得

曲线的极坐标方程为.

（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，

如图，在中，易得，可知

直线的斜率为.

法2：设直线： （为参数），代入中得，整理得，

由得，即，

解得，从而得直线的斜率为.

法3：设直线： ，代入中得

，即，

由得，即，

解得直线的斜率为.

法4：设直线： ，则圆心到直线的距离为，

由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，

所以，解得直线的斜率为.