Question

【题目】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线与相交于不同的两点，满足？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意布列的方程组，解之即可；（2）假设存在符合题意的直线，

由题意直线存在斜率，设直线的方程为，由，消去得 ，利用韦达定理表示，

即可求出直线的方程.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的方程为

由得，则

所以的方程为且经过点

则，解得

故椭圆的方程为

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，

由题意直线存在斜率，设直线的方程为，

由，消去得

由得，解得

设， ，则，

由得

则

即

所以

整理得，解得

又，所以

故存在直线满足条件，其方程为，即