Question

设F₁，F₂是椭圆C：的左、右焦点，A、B分别为其左顶点和上顶点，△BF₁F₂是面积为的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q，试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面积为的正三角形，
∴=，c=1，b=，b=，
∴a²=4，∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）根据题意可知，直线l斜率不为0，
设直线l方程为：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，得（3m²+4）y²+6my﹣9=0，
∴，
设点P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三点共线，
由，得，
同理，
线段PQ的中点D即（4，﹣3m），
则D到直线l的距离为
以PQ为直径的圆的半径
因为d=r，
所以，以PQ为直径的圆与直线l相切．