题目内容

若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n(n∈N*),画出它在x轴上方的图象,请根据图象求出an的最大值,并在同一坐标系中画出函数f(x)=-2x2+13x的图象,根据图象求出f(x)的最大值,并与an的最大值进行比较.若用函数来求an=-2n2+13n的最大值,应如何处理？

思路分析：数列的通项an与n之间构成二次函数关系,可结合二次函数的知识去进行探求.另外要注意n的取值范围.

解:由-2n2+13n＞0n(n-)＜00＜n＜,∵n∈N,∴n=1,2,3,4,5,6.

a1=11,a2=18,a3=-2×9+39=21,a4=-2×16+13×4=20,a5=-2×35+13×5=15,a6=-2×36+13×6=6.(图略)

f(x)=-2(x-)2+,

当x=时,f(x)取最大值.

∵3＜x=3＜4,而3离3较近,

∴a3达到最大值.

温馨提示

    数列也是函数,f(x)是关于x的二次函数,所以它一定存在最大值,而an=-2n2+13n是an关于n的二次函数,也一定存在最大值,但由于n∈N*,所以an是一个整数.

练习册系列答案
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若数列{an}的通项公式为
a
 
n
=5×(
2
5
)2n-2-4×(
2
5
)n-1(n∈N+)，{an}的最大值为第x项，最小项为第y项，则x+y等于
 
．
已知函数f(x)=
1
4x+2
（x∈R）．
（1）已知点(1，
1
6
)在f（x）的图象上，判断其关于点(
1
2
，
1
4
)对称的点是否仍在f（x）的图象上；
（2）求证：函数f（x）的图象关于点(
1
2
，
1
4
)对称；
（3）若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)（m∈N*，n=1，2，…，m），求数列{an}的前m项和Sm．
已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值； 
（2）若数列{an}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N*），n=1，2…m），求数列{an}的前m项和Sm； 
（3）在（2）的条件下，若m∈N*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．
（2003•北京）若数列{an}的通项公式是an=
3-n+(-1)n3-n
2
，n=1，2，…，则
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)等于（　　）
（2013•宝山区一模）若数列{an}的通项公式是an=3-n+(-2)-n+1，则 
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)=
7
6
7
6
．

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