Question

如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．

（1）当，时，设，求的值；
（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；
（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．

Answer 1

（1）4
（2）时，为常数．
（3）“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．

试题分析：解 （1）直线，解方程组 ，得．
所以．     …5分
（2）设，，
因为三点共线，于是，即．   7分
又，即．      9分
所以
．
所以当时，为常数．    14分
另解 设，解方程组 得．
要使为定值，有，即．（相应给分）
（3）若考生给出“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．”       16分
若考生给出“当时，为常数或．”  18分
（ 注：本小题分层评分）
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。