Question

20．过双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{2}$=1的右焦点F作直线l交双曲线于A?B两点，若|AB|=5，则这样的直线l有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 4条

Answer 1

分析 先看当A、B都在左支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长小于5，则考虑不垂直于x轴的两条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．

解答 解：①若A、B都在右支，
若AB垂直x轴，a²=4，b²=2，c²=6，所以F（$\sqrt{6}$，0）
则AB：x=$\sqrt{6}$，
代入双曲线线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{2}$=1求得y=±$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
所以AB=|y₁-y₂|=$\frac{8}{\sqrt{6}}$＜5，不成立；
若A，B不垂直于x轴，则有两条直线满足；
②若A、B分别在两支，
a=2，所以顶点距离为2+2=4＜5，所以|AB|=5有两条，关于x轴对称．
所以一共4条．
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．