Question

10．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{18}$=1（a＞0）的左右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左支交于点B，与右支交于点A，若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（　　）

• A． $6\sqrt{3}$
• B． $8\sqrt{3}$
• C． $18\sqrt{3}$
• D． $8\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，根据等边三角形的性质，即可求得，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，△BF₁F₂中由余弦定理即可求得c²=7a²，由双曲线的性质可知：a²+18=7a²，即可求得a的值，由三角形的面积公式可知∴△BF₁F₂的面积为${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$-${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×6a×4a×sin$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4a）²，即可求得△BF₁F₂的面积．

解答 解：根据双曲线的定义，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|AF₂|=|AB|，
|AF₁|-|AB|=|BF₁|=2a，
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
∵△BF₁F₂中，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，∠F₁BF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解得c²=7a²，
∴a²+18=7a²，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴△BF₁F₂的面积为${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$-${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×6a×4a×sin$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4a）²，
=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4×2）²=6$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单性质，考查三角形的面积公式及余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．