Question

15．2013年4月初眉山市“体彩杯”中小学生田径运动会圆满落幕，市文体局举行表彰大会．某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人参加表彰会，下列情形各有多少种选派方法（结果用数字作答）．
（1）男3名，女2名                 
（2）队长至少有1人参加
（3）至少1名女运动员              
（4）既要有队长，又要有女运动员．

Answer 1

分析 （1）男3人，女2人的选法有C₆³C₄²种．
（2）把队长只有有1人参加的选法种数，加上2个队长都参加的选法种数，即得所求．
（3）求出所有的选法有C₁₀⁵（种），减去没有女运动员的选法种数C₆⁵，即得所求．
（4）求出所有的选法有C₁₀⁵（种），求出没有队长的选法有C₈⁵（种），再求出有男队长但没有女运动员的选法有C₅⁴（种），计算C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴的结果，即为所求．

解答 解：（1）从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C₆³C₄²=120 （种）．
（2）从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有C₂¹ C₈⁴+C₂²C₈³=2×70+56=196（种）．
（3）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C₁₀⁵（种），没有女运动员的选法有C₆⁵（种），
故其中至少有1名女运动员参加的选法有C₁₀⁵-C₆⁵=2462 （种）．
（4）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C₁₀⁵（种），没有队长的选法有C₈⁵（种），有男队长但没有女运动员的选法有C₅⁴（种），
故既要有队长又要有女运动员的选法有C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴=191（种）．

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目．