Question

9．已知：p：|x+1|≤3，q：x²-2x+1-m²≤0，m＞0．
（Ⅰ）若m=2，命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出p，q为真时的x的范围，通过讨论p，q的真假得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）分别求出p，q对应的数集，根据集合的包含关系，得到关于m的不等式组，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=2时，p：-4≤x≤2，q：-1≤x≤3，…（2分）
因为命题“p或q”为真，“p且q”为假，则命题p，q一真一假，…（3分）
所以有$\left\{\begin{array}{l}{-4≤x≤2}\\{x＜-1或x＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4或x＞2}\\{-1≤x≤3}\end{array}\right.$，解得：-4≤x＜-1或2＜x≤3…（6分）
所以满足题意的x的取值范围为[-4，-1）∪（2，3]；                   …（7分）
（Ⅱ）由题意得命题p对应的数集为A=[-4，2]，
命题q对应的数集为B=[1-m，1+m]；（9分）
因为p是q的必要不充分条件，所以 B?A，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-4}\\{1+m≤2}\end{array}\right.$，解得：0＜m≤1 …（13分）
所以实数m的取值范围为（0，1]．…（14分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题．