Question

定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，其图象如图．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（Ⅱ）求方程f(x)=

2

2

的解集．

Answer 1

（1）当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，观察图象易得：A=1，周期为2π，可得ω=1，
再将点(

π

6

，1)代入，结合题设可得φ=

π

3

，即函数f(x)=sin(x+

π

3

)，
由函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称得，x∈[-π，-

π

6

]时，函数f（x）=-sinx．
∴f(x)=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

．
（2）当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，
由sin(x+

π

3

)=

2

2

得，x+

π

3

=

π

4

或

3π

4

⇒x=-

π

12

或x=

5π

12

；
当x∈[-π，-

π

6

]时，由-sinx=

2

2

得，x=-

3π

4

或x=-

π

4

．
∴方程f(x)=

2

2

的解集为{-

3π

4

，-

π

4

，-

π

12

，

5π

12

}