Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的振幅为2，最小正周期为π，且f（x）≤f（

π

6

）对?x∈R恒成立．
（Ι）求函数f（x）的解析式，并求其单调递增区间．
（Ⅱ）若f（

α

2

）=-

2

3

，α∈（0，π），求cosα的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（

α

2

）=-

2

3

求得sin（α+

π

6

）=-

1

3

．结合α∈（0，π），可得α+

π

6

∈（π，

7π

6

），可得cos（α+

π

6

）的值，再由cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]利用两角差的余弦公式求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得A=2，

2π

ω

=π，∴ω=2．
再根据f（x）≤f（

π

6

）对?x∈R恒成立，可得 2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，
即φ=2kπ+

π

6

，k∈z．
再结合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

6

，∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）若f（

α

2

）=-

2

3

，则有 2sin（α+

π

6

）=-

2

3

，即sin（α+

π

6

）=-

1

3

．
结合α∈（0，π），可得α+

π

6

∈（π，

7π

6

），∴cos（α+

π

6

）=-

2 2

3

，
∴求cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=-

1+2 6

6

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．