Question

正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为

45°

．

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，求出个点坐标，以及向量的坐标，并计算出截面BDE的法向量的坐标，进而求出＜

n

，

AC

＞即可得到结论
法二：直接利用线面角的定义找出线面角，利用定义即可求解

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长=2；
则O（0，0，0），B（

2

，O，0），D（-

2

，0，0），A（0，-

2

，0），C（0，

2

，0），P（0，0，

2

），E（0，

2

，2

，

2

，2

）．
∴

AC

=（0，2

2

，0），

BD

=（2

2

，0，0），

BE

=（-

2

，

2

2

，

2

2

）
设截面BDE的法向量为

n

=（x，y，z）；
由

n • BD =0 n • BE =0

⇒

- 2 x+ 2 2 y+ 2 2 z=0 2 2 x=0

⇒

n

=（0，1，-1）；
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

2

2

；
∴＜

n

，

AC

＞=45°．
故直线AC与截面BDE所成的角为90°-45°=45°．
故答案为：45°．
法二：过A做AM⊥平面BDE，垂足为 M，则∠AOM即为直线AC与平面BDE所成的角
设正四棱锥的楞长为2，则S△BDE=

1

2

×2

2

×1=

2

，S△ABD=

1

2

×2×2=2
∴V_E-ABD=

1

3

S△BDA•

1

2

PO=

1

3

×2×

2

2

V_A-BDE=

1

3

×AM×S△BDE=

1

3

AM×

2

∵V_A-BDE=V_E-ABD
∴AM=1
Rt△AMO中，sin∠AOM=

AM

AO

=

1

2

=

2

2

∴∠AOM=45°
故答案为：45°

点评：本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题用到了空间向量，在用空间向量解决此类问题时，一定要先求平面的法向量，进而求出线面角．