Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过证明BD⊥DC，BD⊥PD，证明BD⊥平面PDC，然后推出BD⊥PC；
（2）利用PD⊥平面ABCD，证明AB⊥平面PAD，分别求出S_Rt△PAB，S_△PBC，S_Rt△PDA，S_Rt△PDC，S_梯形ABCD，然后求出四棱锥的表面积．
解答：解：（1）证明：由题意可知DC=2，则，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BD⊥PD，而PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PDC．∵PC?平面PDC，
∴BD⊥PC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，即是直角三角形．
．
过D作DH⊥BC于点H，连接PH，
则同理可证PH⊥BC．并且PH==2，
．
易得，
，
．
故此四棱锥的表面积为：
S_Rt△PAB+S_△PBC+S_Rt△PDA+S_Rt△PDC+S_梯形ABCD
==．
点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．