题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C-AN-E的平面角为60°．存在求出λ值．

解：（1）如图以A为

原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1， $\text{[math]}$ ，1），N（1，0，1），P（0，0，2），
∵ $\text{[math]}$ =（2，0，-2）， $\text{[math]}$ =（1，- $\text{[math]}$ ，1），∴ $\text{[math]}$ =0，∴PB⊥DM．
（2）由（1）可得： $\text{[math]}$ =（-2，1，0）， $\text{[math]}$ =（0，2，0）， $\text{[math]}$ =（1，0，1）．
设平面ADMN法向量 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
则 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，令x=1，则z=-1，y=0，∴ $\text{[math]}$ =（1，0，-1）．
设CD与平面ADMN所成角α，则 $\text{[math]}$ ．
（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2-m），满足条件．
设平面ACN法向量 $\text{[math]}$ =（x，y，z），由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ ，令x=1，则y=-2，z=-1，∴ $\text{[math]}$ =（1，-2，-1）．
设平面AEN的法向量 $\text{[math]}$ =（x₀，y₀，z₀），由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ ，令x₀=1，则z₀=-1， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴cos60°= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ，
化为23m²-52m+20=0，又m∈[0，2]．
解得 $\text{[math]}$ ，满足m∈[0，2]．
∴λ=PE：ED= $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ =m：（2-m）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 即可证明；
（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；
（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．