Question

16．若${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}=3$，求$\frac{{x+{x^{-1}}+3}}{{{x^2}+{x^{-2}}-2}}$=$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，求得x+x^-1，再平方求得x²+x^-2，代入要求的代数式得答案．

解答 解：∵${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}=3$，
∴$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}=9$，得x+x^-1=7，
两边再平方得（x+x^-1）²=49，∴x²+x^-2=47．
则$\frac{{x+{x^{-1}}+3}}{{{x^2}+{x^{-2}}-2}}$=$\frac{7+3}{47-2}=\frac{2}{9}$．
故答案为：$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查有理指数幂的化简求值，考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．