Question

7．如图，AC是圆O的直径，AC=4，PA，PB是圆O的切线，A，B为其切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB、BC．
（1）求证：△ABC～△ADB；
（2）若切线AP的长为$2\sqrt{3}$，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据AC为⊙O的半径，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根据切线的性质知：∠ABD=∠ACB，从而可证：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根据勾股定理可将OP的长求出，利用等面积法，可将AB的长求出．

解答 证明：（1）∵AC是圆O的直径
∴∠ABC=90°
∵AD⊥BP
∴∠ADB=90°∴∠ABC=∠ADB
∵PB是圆的切线
∴∠ABD=∠ACB
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB
∴△ABC∽△ADB．
（2）连接OP，因为PA是圆O的切线，所以，OA⊥AP，在Rt△AOP中，AP=2$\sqrt{3}$，OA=2，
∴OP=4
由已知可得OP⊥AB，等面积法可得：$\frac{1}{2}AP•OA=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB×OP$，∴AB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定及切线性质的应用．本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．