Question

（2012•河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A-xyz，设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），E(0，

4

3

，

1

3

)，F(

1

2

，1，

1

2

)．设平面AEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，由

AE

=(0，

4

3

，

1

3

)，知

AC

=(1，2，0)，由

4 3 y+ 1 3 z=0 x+2y=0

，得

n

=(2，-1，4)，由此能够证明BF∥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为

n

=(2，-1，4)，由

AP

=(0，0，1)为平面ACD的法向量，能求出二面角E-AC-D的余弦值．

解答：解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）E(0，

4

3

，

1

3

)，F(

1

2

，1，

1

2

)（2分）
（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，

4

3

，

1

3

)，

AC

=(1，2，0)，
∴由

n • AE =0 n • AC =0

，
得

4 3 y+ 1 3 z=0 x+2y=0

，
令y=-1，得

n

=(2，-1，4)（4分）
又

BF

=(-

1

2

，1，

1

2

)，
∴

BF

•

n

=2×(-

1

2

)+(-1)×1+4×

1

2

=0，（5分）

BF

⊥

n

，BF?平面AEC，
∴BF∥平面AEC．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为

n

=(2，-1，4)，
又

AP

=(0，0，1)为平面ACD的法向量，（8分）
而cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

4 21

21

，（11分）
故二面角E-AC-D的余弦值为

4 21

21

（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．