Question

如图，底面为正方形的四棱锥S-ABCD 中，P为侧棱SD上的点且SD⊥平面PAC，每条侧棱的长都是底面边长的倍.                                                                       

（1）求二面角P-AC-D的大小  (2)在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

解法一：

     （1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

     设正方形边长，则。

又，所以,

      连，知,所以,   

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

  （2）在棱SC上存在一点E，使

由（1）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解析二（1）连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.

……………………1分

设底面边长为，则高.

于是 ，

 ，

  ……………………3分

由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，

设所求二面角为，则,

∴故所求二面角的大小为……………………7分

（2）在棱上存在一点使.

 由（1）知是平面的一个法向量，

且

设     则 

而

即当时，     

而不在平面内，故……………………12分