Question

（14分）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。

（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；

（2）当时，求折痕长的最大值；

（3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。

（说明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））

Answer 1

解：(1) ①当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程

②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，

所以与关于折痕所在的直线对称，

有

故点坐标为，

从而折痕所在的直线与的交点坐标

（线段的中点）为

折痕所在的直线方程，即

由①②得折痕所在的直线方程为：                     

（2）当时，折痕的长为2;

当时，折痕直线交于点，交轴于

∵

∴折痕长度的最大值为。 

而 ,故折痕长度的最大值为                 

（3）当时，折痕直线交于，交轴于

∵  ∴

∵  ∴（当且仅当时取“=”号）

∴当时，取最大值，的最大值是。